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一 圆柱与圆锥 一、面的旋转 1.点动成线,线动成面,面动成体。 2.将一个长方形以长(宽)为轴,快速旋转后可以形成一个圆柱。 3.将一个直角三角形沿一条直角边快速旋转,会形成一个圆锥。 二、圆柱和圆锥的特征 1.圆柱有两个面是大小相同的圆,有一个面是曲面;圆锥有一个面是圆,有一个面是曲面。即:
2.圆柱的上、下两个圆面叫作圆柱的底面,圆柱的曲面叫作圆柱的侧面;圆柱的两个底面之间的距离叫作圆柱的高。即:
3.圆锥的圆面叫作圆锥的底面,圆锥的曲面叫作圆锥的侧面;圆锥的顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高。 4.测量圆锥的高的方法:把圆锥放在水平面上,在圆锥的顶点上放一个平面的东西,比如一块木板,并与底面平行,测量一下这两个平面间的距离,这两个平面间的距离就是圆锥的高。即:
5.测量圆柱的高的方法:把圆柱放在水平面上,选一把直尺和一个直角三角板,使圆柱的底面与直尺的0刻线对齐,使三角板与直尺垂直并靠紧圆柱的底面,此时圆柱的另一个底面对准的刻度值即是圆柱的高。 三、圆柱的表面积 1.圆柱的侧面积。 圆柱的侧面如果沿高剪开得到一个长方形。 长方形的面积=长方形的长 × 长方形的宽 ↓ ↓ ↓ 圆柱的侧面积=圆柱的底面周长×圆柱的高 用字母表示:S侧=Ch 或S侧=πdh 或S侧=2πrh 2.圆柱的表面积。 圆柱的表面积=侧面积+两个底面积 不同的圆柱形实物,它们的表面积也不相同。比如圆柱形烟囱的表面积等于烟囱的侧面积,圆柱形水桶的表面积就是水桶的侧面积加上一个底面积。 四、圆柱的体积 1.意义:圆柱形物体所占空间的大小叫作圆柱的体积。 2.圆柱的体积的计算公式。 把一个圆柱的底面平均分成若干个相等的扇形,再把这些扇形按照等分线沿高剪开,等分成若干份,就可以拼成一个近似的长方体。如图:
长方体的体积= 长 × 宽×高 ↓ ↓ ↓ ↓ 圆柱的体积 =×高 用字母表示:V=S×h V=πr2×h 3.求不规则物体的体积。 计算不规则物体的体积,可以借助圆柱形容器和水,给圆柱形容器里装适量的水,量出水的高度,把不规则物体放入容器完全浸入水中,并且水不被溢出,这时测量水的高度,上升的水的体积就是不规则物体的体积。 五、圆锥的体积 1.意义:圆锥形物体所占空间的大小叫作圆锥的体积。 2.圆锥的体积公式。 一个圆锥和一个圆柱的底面积和高都相等,将圆锥形容器装满沙子,再倒入圆柱形容器,3次可以倒满。所以说圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的。
圆锥的体积=圆柱的体积× 用字母表示为V=Sh V=πr2h× |
面的形状不同,快速旋转后形成的立体图形也不同。 圆柱有无数条高,圆锥只有一条高。 圆柱或圆锥的高都是一条垂直于底面的线段。 易错点:剪开圆柱的侧面时一定要沿高剪开才可以得到一个长方形。 易错点:在解决圆柱的表面积的问题时,要根据不同实物的表面情况进行计算。 把圆柱剪拼成一个近似的长方体后,它的体积大小不变,表面积增加。 运用转化的方法把圆柱转化成长方体,找出圆柱和长方体之间的关系,可以推导出圆柱的体积公式。 解决体积问题时,可以运用转化的方法把不规则的物体转化为规则的形体进行计算。 求不规则物体的体积一定要借助规则的容器和水来计算。 计算圆锥的体积要先计算与它等底等高的圆柱的体积,再乘。 易错题:只有圆柱和圆锥等底等高时,它们的体积才有可比性。 判断圆柱和圆锥的关系,一定要在等底等高的条件下。 |
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